Язык: Фортран 77, Windows

---

Пакет программ OPEM2 разрабатывался с 1981 для калибровочных задач измерительных систем в физике высоких энергий в сотрудничестве с ЛИТ ОИЯИ, г.Дубна.

Последние версии пакета сделаны при поддержке Болгарского национального фонда научных исследований по физике - Phi 1001.

1.Описание метода

В OPEM2 используется метод ортогонализации полиномов, основанный на трехчленном соотношении Хаусхолдера-Форсайта [1,2] (для одномерного случая) и рекуррентном соотношении Вейсфельда [3] (для многомерного случая). Семейство полиномов {P_L} задается рекуррентным соотношением:

где P_k - базовый полином. K и I вычисляются в процессе работы программы. {P_L} определяются на конечном дискретном подмножестве D пространства , D={q₁,q₂,...,q_M}. Каждая точка q_j=q_j(x₁^j1,x₂^j2,...,x_n^jn) представляет собой n-координатный вектор (в данном случае n=2). Веса w_j=1/S²_j, ассоциированные с этими точками, зависят от стандартных отклонений в каждой точке. Точки, веса и значения экспериментальной функции {q_j,w_j,f_j^exp}_j=1^M в этих точках должны быть заданы. Рекурентные коэффициенты {_L}, {_L-1} и нормализующий фактор {c_L} вычисляются как скалярное произведение от заданных значений. Данное описание есть развитие работ [3,4,7]. В OPEM2 аппроксимируемая функция разлагается по ортонормированным полиномам с использованием специальных ортонормированных коэффициентов a_k. Оптимальное значение степени полиномов L_r вычисляется, исходя из двух критериев.

Тогда ортонормированные коэффициенты {a_k} в (1.2) легко вычисляются из заданных значений:

Представим двумерные полиномы в виде пирамиды в порядке возрастания степени полиномов:

В каждой ячейке пирамиды сверху записан номер полинома, а степени j₁ и j₂ первого и второго аргумента x₁ и x₂ приведены ниже.

Пример вычисления индексов K и I в (1.1) для полинома P₁₃ (k=2, j₁=2, j₂=2):

(P₈ - базовый полином: K=8, I=4).

В работе [7] для двумерного случая представлены новые теоретические исследования - для случая дифференцирования и интегрирования в уравнение (1.1) добавлен четвертый член. Более детальное описание математического метода для многомерных полиномов, включая дифференцирование и интегрирование, будет опубликовано позднее в подходящем журнале в соответствии с настоящим описанием и с некоторыми дополнениями.

2.Описание пакета OPEM2 (Фортран 77)

OPEM2 состоит из главной программы CALIB и пяти подпрограмм: TSTWO, ORTTWO, PRETWO (основные), DEGREE, NUMBER (вспомогательные). В главной программе CALIB задаются:

Основные подпрограммы содержат COMMON-блок /LINKS/, куда записываются коэффициенты рекуррентного соотношения и вспомогательные переменные. Размеры массивов в /LINKS/ зависят от суммы индексов j₁ и j₂, и когда эта сумма равна 16, размеры массивов определяются как L_max=(16+1)(16+2)/2=153. Они могут изменяться в зависимости от задачи.

Подпрограмма TSTWO(X,Y,W,M,F,A,NDEG) организует вызов других подпрограмм. Сначала TSTWO вызывает PRETWO для подготовки коэффициентов рекуррентных соотношений с предельной степенью NDEG, подсчитывает ортонормированные коэффициенты A, вызывая подпрограмму ORTTWO, определяет аппроксимируемые значения и отклонения в точках, выбирает оптимальную степень L_r и минимум ()², подсчитывает ошибки и печатает результаты.

Подпрограмма ORTTWO(NUMBMX,X,Y,POLY) в POLY-массиве возвращает конкретные значения полиномов от 1 до NUMBMX при заданных значениях x и y.

Подпрограмма PRETWO(M,MAXD,X,Y,W,POLY) подготавливает коэффициенты рекуррентного соотношения двумерных полиномов, ортонормированных на дискретном точечном множестве.

PRETWO делает последовательный рекурсивный вызов подпрограммы ORTTWO, начиная с NUMBMX = L-1. Следующий вызов ORTTWO выполняется со значением L, увеличенным на 1, и так далее до тех пор, пока L не достигнет значения L_max.

Подпрограмма DEGREE(N,J,JX,JY) считает для данного порядкового номера N предельную степень его главного члена J, степень x-переменных JX и степень y-переменных JY.

Функция NUMBER(JX,JY) наоборот, по заданным JX и JY возвращает порядковый номер полинома в соответствии с [3].

3.Применение

В работах [5,6,7] описаны применения пакета OPEM2 для получения калибровочных коэффициентов между идеальной и измеренной сетками в оптических измерительных приборах физики высоких энергий. Последнее применение пакета - для эксперимента H1 в DESY (Hamburg) - нахождение координат максимума поверхности, полученной суммированием гауссианов. Аналитическая поверхность построена на сетке, заданной более чем 400 точками.Б.

Работа сделана в коллаборации с ЛИТ ОИЯИ (г.Дубна).

4.Литература:

1. A.Householder, Principles of numerical analysis (Mc Graw-Hill, New York,1953), p.221.
2. G.Forsythe, J.Soc.Ind.Math. 5 (1957) 74.
3. W.Weisfeld, Numer.Math. 1 (1959) 38.
4. V.Gadjokov, Commun.JINR E11-80-782, Dubna (1980).
5. N.Bogdanova, V.Gadjokov, Comp.Phys.Commun.,24 (1981) p.225-229.
6. N.Bogdanova, J.Comp.and Appl.Mathematics, 14 (1986) p.345-351.
7. N.Bogdanova, T.Kupenova, Comp.Phys.Commun.,73 (1992) p.170-178.

Архив программы OPEM2 с исходными текстами и результатами.

---