TOWARDS AN ALGEBRAIC CLASSIFICATION OF 
       CALABI--YAU MANIFOLDS
       Study of $K$3 Spaces

F. Anselmo 

INFN--Bologna, Bologna, Italy

J. Ellis

Theory Division, CERN, CH-1211 Geneva, Switzerland
and
       D.V. Nanopoulos 

Dept. of Physics,  Texas A \& M University, College Station, 
       TX 77843-4242, USA, HARC, The Mitchell Campus, Woodlands, TX~77381, USA, and  Academy of Athens, 28~Panepistimiou Avenue,  Athens 10679, 
       Greece
and
       G. Volkov
Theory Division, CERN, CH-1211 Geneva, Switzerland and Theory Division, Institute for High-Energy Physics, Protvino, Russia

We present an inductive algebraic approach to the systematic construction
and classification of generalized Calabi--Yau (CY)  manifolds in different
numbers of complex dimensions, based on Batyrev's formulation of CY
manifolds as toric varieties in weighted complex projective spaces
associated with reflexive polyhedra. We show how the allowed weight
vectors in lower dimensions may be extended to higher dimensions,
emphasizing the roles of projection and intersection in their dual
description, and the natural appearance of Cartan--Lie algebra structures. 
The 50 allowed extended four-dimensional vectors may be combined in pairs
(triples) to form 22 (4) chains containing 90 (91) $K3$ spaces, of which
94 are distinct, and one further $K3$ space is found using duality. In the
case of $CY_3$ spaces, pairs (triples) of the 10270 allowed extended
vectors yield 4242 (259) chains with $K3$ (elliptic) fibers containing 730
additional $K3$ polyhedra. A more complete study of $CY_3$ spaces is left
for later work. 

На основе формулировки Батырева многообразий Калаби--Яо (КЯ) как 
торических множеств во взвешенных комплексных проективных пространствах, 
ассоциированных с рефлексивными полиэдрами, предложен индуктивный 
алгебраический подход к систематическому построению и классификации обобщенных многообразий КЯ для различных комплексных размерностей. Показано, как 
допустимые весовые векторы в низших размерностях могут быть расширены для 
высших размерностей. При этом отмечена роль проектирования и пересечения 
в их дуальном описании и естественное появление алгебраических структур 
Картана--Ли. Пятьдесят допустимых расширенных четырехмерных векторов могут 
быть скомбинированы в пары (тройки), формирующие 22 (4) цепочки, содержащие 
90 (91) $K3$-пространств, из которых 94 являются особыми, а одно 
$K3$-пространство находится с использованием дуальности. В случае 
пространств $CY_3$ пары (тройки) из 10270 допустимых расширенных 
векторов дают 4242 (259) цепочек с $K3$ (эллиптическими)-расслоениями, 
содержащими 730 дополнительных $K3$-полиэдров. Более полное изучение 
$CY_3$-пространств будет приведено в следующей работе.