PROPERTIES OF FERMI AND  SYMMETRIZED FERMI FUNCTIONS
       AND APPLICATIONS IN NUCLEAR PHYSICS

M. E. Grypeos,  C. G. Koutroulos
 Aristotle University of Thessaloniki, Department of Physics, 
       Thessaloniki, Greece

       V. K. Lukyanov
 Joint Institute for Nuclear Research, Dubna, Russia

       A. V. Shebeko 
 Institute of Theoretical Physics, NSC \char 165 Kharkov Institute 
       of Physics & Technology\char 245, Kharkov, Ukraine


The aim of this article is to survey advances made in investigating
  the properties of the Fermi (F) and symmetrized Fermi (SF) functions
  and in using them as approximants for basic physical inputs in various
  applications in nuclear physics and related areas, such as the physics
  of hypernuclei and of metal clusters. The evaluation of the F- and SF-type 
integrals, taking also into account more general limits, is considered on the 
basis, either of the Sommerfeld approximation or beyond that, when, e.g., 
rapidly oscillating functions are involved in the integrand. Particular 
attention is paid to the \char 165 small exponential terms\char 245\ and topics such as the Fourier and Bessel transforms of the
  F and SF functions, their analytic properties, the Dingle representation
  of the F function, etc. Applications refer to the nuclear
 diffraction in  scattering of particles by nuclei, generalized
 expressions of the harmonic  oscillator (HO) energy level spacing for its
 variation with the  particle number, study of the Woods--Saxon (WS)-type
 potentials and their use in problems of hypernuclei and metal clusters.


Цель данной работы --- дать обзор достижений в исследовании свойств ферми- (Ф) и симметризованной ферми-функций (СФ), использовании их как основы в
постановке и решении различных задач ядерной физики и связанных с ней
областей, таких как физика гиперядер и металлических кластеров.
Рассматриваются способы вычисления интегралов, в том числе с произвольными
пределами, включающими Ф- и  СФ-функции, на основе приближения Зоммерфельда,
а также в более общей постановке, когда, например, одна из подынтегральных
функций быстро осциллирует. Особое внимание уделено роли появляющихся
в таких задачах \char 165 экспоненциально малых вкладов\char 245, а также 
преобразованиям Фурье и Бесселя, представлению Дингла для Ф- и СФ-функций,
методам, учитывающим аналитические свойства этих функций, и др.
Приложения связаны с проблемами ядерного дифракционного рассеяния,
обобщением зависимости от атомного номера распределений энергий уровней в
потенциале гармонического осциллятора, изучением возможностей потенциала
типа Вудса--Саксона (ВС) в исследовании проблем физики гиперядер и
металлических кластеров.